矩阵的特征值(或特征值)和特征向量(或特征向量)

矩阵的特征值(或特征值)和特征向量(或特征向量)

本页我们解释什么是特征值和特征向量,也分别称为特征值和特征向量。您还将找到有关如何计算它们的示例以及用于练习的分步解决练习。

什么是特征值和特征向量?

虽然特征值和特征向量的概念比较难理解,但它的定义如下:

特征向量或特征向量是线性映射的非零向量,当经过线性映射变换时,会产生它们的标量倍数(它们不改变方向)。该标量就是特征值或特征值。

金子

是线性映射的矩阵,

是特征向量并且

自己的价值。

特征值也称为特征值。甚至还有数学家用德语词根“eigen”来指定特征值和特征向量:特征值代表特征值,特征向量代表特征向量。

如何计算矩阵的特征值(或特征值)和特征向量(或特征向量)?

要找到矩阵的特征值和特征向量,您必须遵循整个过程:

通过求解以下行列式计算矩阵的特征方程:

我们求步骤1中得到的特征多项式的根。这些根就是矩阵的特征值。

计算每个特征值的特征向量。为此,需要对每个特征值求解以下方程组:

这就是求矩阵特征值和特征向量的方法,但这里我们也给你一些提示:😉

Tips :我们可以利用特征值和特征向量的性质来更容易地计算它们:

✓矩阵的迹(主对角线之和)等于所有特征值之和。

✓所有特征值的乘积等于矩阵的行列式。

✓如果行或列之间存在线性组合,则矩阵至少有一个特征值等于0。

我们来看一个矩阵的特征向量和特征值是如何计算的例子,以便更好地理解该方法:

计算矩阵的特征值和特征向量的示例:

求以下矩阵的特征值和特征向量:

首先,我们需要找到矩阵的特征方程。为此,必须解决以下决定因素:

现在我们计算特征多项式的根,因此,我们将得到的结果等于0并求解方程:

方程的解就是矩阵的特征值。

一旦我们有了特征值,我们就可以计算特征向量。为此,我们需要对每个特征值求解以下系统:

我们首先计算与特征值 1 相关的特征向量:

从这些方程我们得到以下子空间:

特征向量子空间也称为特征空间。

现在我们必须找到这个干净空间的基数,因此我们将值 1 赋给变量

我们得到以下特征向量:

最后,一旦找到与特征值 1 相关的特征向量,我们就重复该过程来计算特征值 2 的特征向量:

在这种情况下,只有向量的第一个分量必须为 0,因此我们可以给

。但为了更容易,最好输入 1:

综上,矩阵的特征值和特征向量为:

一旦您知道如何找到矩阵的特征值和特征向量,您可能会想……它们有什么用?好吧,事实证明它们对于矩阵对角化非常有用,事实上这是它们的主要应用。要了解更多信息,我们建议您查看如何使用链接对矩阵进行对角化,其中逐步解释了该过程,并且还有示例和已解决的练习可供练习。

已解决的关于特征值和特征向量的练习(特征值和特征向量)

练习1

计算以下2阶方阵的特征值和特征向量:

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我们首先计算矩阵的行列式减去主对角线上的 λ:

现在我们来计算特征多项式的根:

我们计算与特征值 2 相关的特征向量:

然后我们计算与特征值 5 相关的特征向量:

因此,矩阵A的特征值和特征向量为:

练习2

确定以下2×2方阵的特征值和特征向量:

查看解决方案

我们首先计算矩阵的行列式减去主对角线上的λ,得到特征方程:

现在我们来计算特征多项式的根:

我们计算与特征值-1相关的特征向量:

然后我们计算与特征值 3 相关的特征向量:

因此,矩阵A的特征值和特征向量为:

练习3

确定以下3阶矩阵的特征值和特征向量:

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我们首先要求解矩阵A减去单位矩阵乘以lambda的行列式,得到特征方程:

在这种情况下,行列式的最后一列有两个零,因此我们将利用这一点通过此列通过辅因子(或补数)计算行列式:

我们现在需要计算特征多项式的根。最好不要将括号相乘,因为这样我们会得到三次多项式,另一方面,如果两个因子分别求解,则更容易获得特征值:

我们计算与特征值 2 相关的特征向量:

我们计算与特征值-1相关的特征向量:

我们计算与特征值 3 相关的特征向量:

因此,矩阵A的特征值和特征向量为:

练习4

计算以下3×3方阵的特征值和特征向量:

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我们首先求解矩阵的行列式减去主对角线上的λ,得到特征方程:

我们从特征多项式中提取一个公因子,并从每个方程中求解 λ:

我们计算与特征值 0 相关的特征向量:

我们计算与特征值 2 相关的特征向量:

我们计算与特征值 5 相关的特征向量:

因此,矩阵A的特征值和特征向量为:

练习5

计算以下3×3矩阵的特征值和特征向量:

查看解决方案

我们首先求解矩阵的行列式减去主对角线上的λ,得到特征方程:

我们使用鲁菲尼规则找到特征多项式或最小多项式的根:

然后我们求得到的多项式的根:

所以矩阵的特征值为:

我们计算与特征值 1 相关的特征向量:

我们计算与特征值 2 相关的特征向量:

我们计算与特征值 4 相关的特征向量:

因此,矩阵A的特征值和特征向量为:

练习6

求以下4×4矩阵的特征值和特征向量:

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首先求解矩阵的行列式减去主对角线上的λ,得到特征方程:

在这种情况下,行列式的最后一列除一个元素外仅包含零,因此我们将利用这一点通过该列通过辅因子计算行列式:

我们现在必须计算特征多项式的根。最好不要将括号相乘,因为这样我们会得到四次多项式,另一方面,如果两个因子分别求解,则更容易计算特征值:

我们计算与特征值 0 相关的特征向量:

我们计算与特征值-1相关的特征向量:

我们计算与特征值 3 相关的特征向量:

特征值 3 的重数等于 2,因为它重复了两次。因此,我们必须找到另一个满足相同方程的特征向量:

因此,矩阵A的特征值和特征向量为:

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